3.1 最短路问题

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最短路问题{单源最短路{所有边权为正{朴素Dijkstra算法:稠密图(m∼n2)−O(n2)堆优化版Dijkstra算法:稀疏图(m∼n)−O(mlogn)存在负权边{Bellman−Ford算法:O(nm)SPFA算法:平均:O(m),最坏O(nm)多源汇最短路    Floyd算法:O(n3)最短路问题\begin{cases} 单源最短路 \begin{cases} 所有边权为正 \begin{cases} 朴素Dijkstra算法:稠密图(m \sim n^2) - O(n^2)\\ \\ 堆优化版Dijkstra算法:稀疏图(m \sim n) - O(mlogn)\\ \end{cases} \\ \\ 存在负权边 \begin{cases} Bellman-Ford算法:O(nm)\\ \\ SPFA算法:平均:O(m),最坏O(nm)\\ \end{cases} \\ \end{cases} \\ \\ \\ 多源汇最短路 \ \ \ \ Floyd算法:O(n^3)\\ \\ \\ \end{cases}

注：$ n $ 为点数，$ m $ 为边数

3.1.1 朴素Dijkstra算法

思想

(0) $ dist[i] $ 为 $ 1 $ 号点到 $ i $ 号点的当前最短距离
    集合SS存储当前已经确定有最短距离的点
(1) 初始化距离：$ dist[1] = 0, dist[i] = +\infty $
(2) $ for \ i : 0 \to n $
i.$\ t \ \leftarrow \ $ { 不在 SS 中的，距离11号点最近的点 }
ii.$\ S \ \leftarrow t \ $
iii. 用 $ t $ 更新其他点的距离

FAQ

(1) 存储方式：邻接矩阵

设邻接矩阵为$ g[N][N] $ $$ g[a][b] = \begin{cases} 0 \ , 存在从a号点到b号点的有向边\\ 1 \ , 不存在从a号点到b号点的有向边\\ \end{cases} $$

(2) 初始化方式：

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memset(a, 0x3f, sizeof a)

memset函数是以字节为单位进行赋值的

void *memset(void *s, int ch, size_t n);
将 $ s $ 所指向的某一块内存中的前 $ n $ 个字节的内容全部设置为 $ ch $ 指定的 $ ASCII $ 值
$ 0x3f = 0011 1111 = 63 $
C++中 $ int $ 型变量所占的位数为 $ 4 $ 个字节，即 $ 32 $ 位
$ 0x3f $ 显然不是 $ int $ 型变量中单个字节的最大值，应该是 $ 0x7f = 0111 1111 B $
那为什么要赋值 $ 0x3f $ ：
a. 作为无穷大使用，因为 $ 4 $ 个字节均为 $ 0x3f $ 时，$ 0x3f3f3f3f $ 的十进制是 $ 1061109567 $ ，也就是 $ 10^ 9 $ 级别的（和 $ 0x7fffffff $ 一个数量级）
b.  $ 0x3f3f3f3f + 0x3f3f3f3f = 2122219134 $ ，这非常大但却没有超过 $ 32-bit \ int $ 的表示范围，满足了“无穷大加无穷大还是无穷大”的需求。

(3) 如何处理重边和自环：任意两点之间的有向边取边权最小

代码

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出−1。第一行包含整数n和m接下来m行每行包含三个整数x,y,z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。 给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。\\ 请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。\\ 第一行包含整数 n 和 m \\ 接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。\\ 

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510;

int n, m;
int g[N][N]; // 邻接矩阵
int dist[N]; // 从1号点走到每个点的当前的最短距离
bool st[N]; // 每个点的最短路是否已经被确定，作用是充当集合S

int dijkstra()
{
    // 初始化距离
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist); 
    dist[1] = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int t = -1; // t 表示不在S中的，当前距离最短的点，初始化为一个不合法的点
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            // 找t
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
            {
                // 如果t不在S中
                // 如果t还没有成为一个合法的点 或者 j点的距离比t点的短，就用j更新t 
                t = j;
            }
        }
        st[t] = true; // t放入集合S中
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            // 用t更新距离
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
        }
    }
        
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    memset(g, 0x3f, sizeof g); // 初始化邻接矩阵
    
    while (m --) {
        int a, b, c;   
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = min(g[a][b], c); // 处理重边和自环
    }
    
    int t = dijkstra();
    
    printf("%d\n", t);
    return 0;
}

3.1.2 堆优化Dijkstra算法

代码

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出−1。输入格式：第一行包含整数n和m。接下来m行每行包含三个整数x,y,z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。输出格式：输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。如果路径不存在，则输出−1。数据范围：1≤n,m≤1.5×105图中涉及边长均不小于0，且不超过10000。数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过109。 给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。\\ 请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。\\ 输入格式：第一行包含整数 n 和 m。\\ 接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。\\ 输出格式：输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。如果路径不存在，则输出 −1。\\ 数据范围：1≤n,m≤1.5×10^5 \\ 图中涉及边长均不小于 0，且不超过 10000。数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 109。\\
TODO：C++优先队列，邻接表，堆

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#include <iostream>
#include <queue> // 优先队列的库
#include <cstring> // memset的库

using namespace std;

const int N = 1e6;
int n, m; // n为点数, m为边数
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx; // 邻接表
int dist[N]; // 距离
bool st[N]; // 状态
typedef pair<int, int> PII; // <距离，编号>

void add(int a, int b, int c) {
    /* 
    头插法
    h[i]：i号点所指向的某一个节点的下标
    通过idx来索引
    e[i]：节点的值，即点的序号
    w[i]：有向边的权重
    ne[i]：e[i]所指向的某一个节点的下标
    */
    // a --c--> b
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx;
    idx ++;
}

int dijkstra() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 初始化距离
    dist[1] = 0; // 初始化距离
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; // [STL]小根堆，堆用vector实现
    heap.push({0, 1}); // 1号点入堆
    while (heap.size()) {
        auto t = heap.top(); // 找出距离最近的点
        heap.pop(); // 出堆
        int ver = t.second; // 点的编号
        int d = t.first; // 距离
        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;
        // 更新，遍历从t出去的所有边
        for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[ver] + w[i]) {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j}); // 距离变小则入堆
            }
        }
    }
    
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h); // 初始化邻接表，h[i] = -1
    while (m --) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    cout << dijkstra() << endl;
    return 0;
}

3.1.3 Bellman-Ford算法

代码

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。请你求出从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，输出impossible。注意：图中可能存在负权回路。输入格式：第一行包含三个整数n,m,k。接下来m行，每行包含三个整数x,y,z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。点的编号为1∼n。输出格式：输出一个整数，表示从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离。如果不存在满足条件的路径，则输出impossible。数据范围1≤n,k≤500,1≤m≤10000,1≤x,y≤n，任意边长的绝对值不超过10000。 给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。\\ 请你求出从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，输出 impossible。\\ 注意：图中可能 存在负权回路 。\\ 输入格式：第一行包含三个整数 n,m,k。\\ 接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。点的编号为 1∼n。\\ 输出格式：输出一个整数，表示从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离。\\ 如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。\\ 数据范围1≤n,k≤500,1≤m≤10000,1≤x,y≤n，任意边长的绝对值不超过 10000。\\ 

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;
int n, m, k;
int dist[N], backup[N];
struct Edge {
    // 最简单的结构体存储有向边
    // a --w--> b
    int a, b, w; 
}edges[M];

int bellman_ford() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 初始化
    dist[1] = 0; // 初始化
    for (int i = 0; i < k ; i ++) {
        // 循环k次求出的最短路最多经过k条边
        // 备份，防止在更新的时候使用更新后的数据
        memcpy(backup, dist, sizeof dist);
        for (int j = 0; j < m; j ++) {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > backup[a] + w) dist[b] = backup[a] + w;
        }
    }
    // 距离为正无穷的点可能被负权边更新
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -0x3f3f3f3f;
    return dist[n];
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i = 0; i < m; i ++) {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }
    int t = bellman_ford();
    if (t == -0x3f3f3f3f) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);
    return 0;
}

3.1.4 SPFA算法

代码

3.1.4.1 求最短路

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出impossible。数据保证不存在负权回路。输入格式：第一行包含整数n和m。接下来m行每行包含三个整数x,y,z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。输出格式：输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。如果路径不存在，则输出impossible。数据范围：1≤n,m≤105,图中涉及边长绝对值均不超过10000。 给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。\\ 请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 impossible。数据保证不存在负权回路。\\ 输入格式：第一行包含整数 n 和 m。\\ 接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。\\ 输出格式：输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。如果路径不存在，则输出 impossible。\\ 数据范围：1≤n,m≤105,图中涉及边长绝对值均不超过 10000。\\ 

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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 100010;
int n, m;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int x, int y, int z) {
    e[idx] = y;
    w[idx] = z;
    ne[idx] = h[x];
    h[x] = idx ++;
}

int spfa() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    // 优化Bellman-Ford算法中的松弛操作
    // 只更新距离变小的点
    // 方法：加入队列，更新它的所有出边，踢出队列
    // 存储方式：邻接表
    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;
    while(q.size()) {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
                
            }
        }
    }
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -0x3f3f3f3f;
    else return dist[n];
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m --) {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        add(x, y, z);
    }
    int t = spfa();
    if (t == -0x3f3f3f3f) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);
}

3.1.4.2 判断负环

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。判断图中是否存在负权回路。输入格式：第一行包含整数n和m。接下来m行每行包含三个整数x,y,z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。输出格式：如果图中存在负权回路，则输出Yes，否则输出No。数据范围：1≤n≤2000,1≤m≤10000,图中涉及边长绝对值均不超过10000。 给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。判断图中是否存在负权回路。\\ 输入格式：第一行包含整数 n 和 m。\\ 接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。\\ 输出格式：如果图中存在负权回路，则输出 Yes，否则输出 No。\\ 数据范围：1≤n≤2000,1≤m≤10000,图中涉及边长绝对值均不超过 10000。\\ 

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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 100010;
int n, m;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int dist[N], cnt[N]; // cnt[i]表示i号点最短路的边数
bool st[N];

void add(int x, int y, int z) {
    e[idx] = y;
    w[idx] = z;
    ne[idx] = h[x];
    h[x] = idx ++;
}

bool spfa() {
    // 不用求dist[n]，不用初始化
    // memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    // dist[1] = 0;
    // 优化Bellman-Ford算法中的松弛操作
    // 只更新距离变小的点
    // 方法：加入队列，更新它的所有出边，踢出队列
    // 存储方式：邻接表
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        // 可能有1号点到不了的负环，每个点都要当作起点
        q.push(i);
        st[i] = true;
    }
    while(q.size()) {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1; // 更新的话边数+1
                if(cnt[j] >= n) return true;
                if (!st[j]) {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
                
            }
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m --) {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        add(x, y, z);
    }
    if (spfa()) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

3.1.5 Floyd算法

代码

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。再给定k个询问，每个询问包含两个整数x和y，表示查询从点x到点y的最短距离。如果路径不存在，则输出impossible。数据保证图中不存在负权回路。输入格式：第一行包含三个整数n,m,k。接下来m行，每行包含三个整数x,y,z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。接下来k行，每行包含两个整数x,y，表示询问点x到点y的最短距离。输出格式：共k行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出impossible。数据范围;1≤n≤200,1≤k≤n2,1≤m≤20000,图中涉及边长绝对值均不超过10000。 给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。\\ 再给定 k 个询问，每个询问包含两个整数 x 和 y，表示查询从点 x 到点 y 的最短距离。\\ 如果路径不存在，则输出 impossible。数据保证图中不存在负权回路。\\ 输入格式：第一行包含三个整数 n,m,k。\\ 接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。\\ 接下来 k 行，每行包含两个整数 x,y，表示询问点 x 到点 y 的最短距离。\\ 输出格式：共 k 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。\\ 数据范围;1≤n≤200,1≤k≤n^2,1≤m≤20000,图中涉及边长绝对值均不超过 10000。\\ 

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 210, INF = 1e9;
int d[N][N];
int n, m, Q;

void floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k ++) {
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            for (int j = 1; j <= n; j ++) {
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= n; j ++) {
            if(i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;
        }
    }
    
    while(m --) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        d[a][b] = min(d[a][b], c);
    }
    
    floyd();
    
    while(Q --) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        if (d[a][b] > INF / 2) puts("impossible");
        else printf("%d\n", d[a][b]);
    }
}